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数学分析课程大纲
2018-05-28 09:09     (点击: )

《数学分析I-III》课程大纲

一、课程概况

课程名称

数学分析I-III

课程代码

073BA8007A073BAA004A073CAA002A

适用专业

数学与应用数学

开课学期

123学期

课程性质

学科基础课程

学时/学分

324/15

课程负责人

贺自树

课程组成员

赵克全、杜学武、高英、李觉友、黄穗、罗洪林、刘立汉、徐家发

预修课程

中学数学基础知识

二、课程目标

课程目标1:掌握数学分析的基本概念,了解数学分析的发展历史,掌握科学的思想和方法。

课程目标2:掌握数学分析的基本方法,具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力与数学运算能力,养成认真、求实、勤奋良好的教学科研精神与学风。

课程目标3:掌握数学分析的基本理论,培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力,养成反思和独立思考的习惯,为后继课程学习打下坚实的基础。

课程目标4:培养建立数学模型的能力以及综合运用数学分析知识去分析和解决问题的能力,体会和领悟数学的简洁性与深刻性,提高数学思维能力和科学素养,具备一定的科学研究能力。培养反思及自主学习能力。

三、课程目标与毕业要求的关系

1、课程目标与毕业要求的对应关系

毕业要求

指标点

课程目标

学会教学

学科素养

3.2掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能,理解数学学科知识体系的基本思想和方法,具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。

课程目标1

课程目标2

课程目标3

3.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系,了解所教学科与实践应用的联系,掌握一定的数学学科相关知识。

课程目标1

课程目标2

课程目标3

学会发展

学会反思

7.1具有主动学习新知识、掌握新技能的兴趣和意识,具有终身学习和专业发展意识,能通过不断学习和改进养成自主学习的习惯,并能进行职业生涯规划。

课程目标1

课程目标2

课程目标3

课程目标4

 

2、课程目标与毕业要求的矩阵关系图

名称

践行师德

学会教学

学会育人

学会发展

师德规范

教育情怀

学科素养

教学能力

班级管理

综合育人

学会反思

沟通合作

1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

2-3

3-1

3-2

3-3

4-1

4-2

4-3

5-1

5-2

6-1

6-2

6-3

7-1

7-2

7-3

8-1

8-2

数学分析

H

H

H

数学分析

H

M

课程目标1

H

H

H

课程目标2

H

H

H

课程目标3

H

H

H

课程目标4

H

四、课程教学要求与重难点

序号

课程内容

框架

教学要求

教学重点

教学难点

1

变量与函数

变量与函数;复合函数及反函数;基本初等函数

函数的概念以及函数的几何特性。

复合函数与反函数的概念。

2

极限与连续

正确理解数列极限与函数极限的概念,掌握按极限定义验证极限的方法、极限的性质及其应用、极限存在的判别法及其应用、连续函数的定义与非连续点的判别和闭区间上连续函数的性质及其应用。

数列和函数极限的定义;极限的性质及其证明;求极限的一些基本方法;极限的运算法则;连续函数的定义和不连续点的判别与分类;闭区间上连续函数的性质及其应用;无穷小量与无穷大量的阶。

数列和函数极限的定义;按极限定义验证极限的方法;极限的性质及其应用;连续函数的性质及其应用;一致连续的定义。

3

关于实数的基本定理和闭区间上连续函数性质的证明

要求介绍基本概念和一些基本定理,重点介绍上确界和下确界的概念以及聚点等概念。

要求介绍基本概念和一些基本定理,重点介绍上确界和下确界的概念以及聚点等概念。

实数集上的基本定理及其证明;利用基本定理证明闭区间上连续函数的性质。

4

导数与微分

正确理解与掌握导数和左、右导数的定义,并能按照导数,左、右导数的定义计算一些函数的导数或左、右导数;掌握导数的几何意义,物理意义及其应用;正确理解与掌握微分的定义;掌握可导性与连续性之间的关系和可微性与可导性之间的关系;牢记基本函数的导数公式;牢固掌握复合函数的求导法则,能熟练地应用法则计算复合函数的导数;掌握隐函数及参数方程所表示的函数的求导法;掌握对数求导法;掌握高阶导数及高阶微分的求法。

导数和微分的定义;基本初等函数导数公式;复合函数和反函数求导法则;隐函数及参数方程表示函数的求导法则;高阶导数及高阶微分求法。

导数和微分的定义;复合函数和反函数求导法则;隐函数及参数方程表示函数的求导法则;高阶导数及高阶微分求法。

5

微分学的基本定理及其应用

掌握费马定理,罗尔中值定理,拉格朗日值定理,柯西中值定理、泰勒公式及拉格朗日型余项和近似计算;熟练掌握函数的单调性判别法,极值、最大值、最小值的求法,掌握曲线的凹凸性、拐点的判定、会求渐近线,了解函数的图像的讨论;掌握罗比塔法则;了解平面曲线的曲率。

罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理、泰勒公式及拉格朗日型余项,函数的单调性判别法,极值的求法,掌握曲线的凹凸性、拐点的判定,待定型及其洛必达法则。

中值定理及其应用,函数单调性、极值、凹凸性和拐点的判别,洛必达法则及其应用。

6

不定积分

深刻理解原函数和不定积分概念,牢记不定积分的基本公式,熟悉不定积分的运算法则,掌握不定积分的计算方法。

不定积分的定义,不定积分的基本公式和不定积分的计算方法。

不定积分的计算方法。

7

定积分

深刻理解Riemann下积分的概念及其性质,了解定积分存在的必要条件、可积的充分条件(可积函数类)以及可积的充分必要条件。深刻理解积分上限函数的连续性、可微性定理及牛顿莱布尼兹公式。熟练掌握定积分的换元积分法、分部积分法。

Riemann下积分的概念及其性质,定积分存在的必要条件、可积的充分条件以及可积的充分必要条件,牛顿莱布尼兹公式,定积分的换元积分法、分部积分法。

Riemann下积分的定义,定积分存在的条件,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元积分法、分部积分法。

8

定积分的应用

掌握定积分的几何应用与一些物理应用(面积、体积、弧长,旋转曲面的面积、曲率、质心、压力、功),能体会“微元法”应用中的基本程序与技巧。

微元法,“微元法”在几何和物理中的应用。

“微元法”及其应用。

9

数项级数

掌握上极限和下极限的概念,掌握级数收敛概念和级数的性质,掌握正项级数收敛的充要条件,熟练地应用比值判别法,根值判别法,比较判别法,积分判别法判定正项级数的敛散性,掌握任意项级数的绝对收敛和条件熟练的判别。

数项级数收敛概念和性质,正项级数收敛的充要条件,比值判别法,根值判别法,比较判别法,积分判别法,任意项级数的收敛性判别。

数项级数收敛的定义,数项级数收敛的判别法。

10

广义积分

掌握无穷限反常积分收敛性的概念,知道无穷限反常积分和数项级数的关系,掌握比较判别法,了解阿贝尔判别法和狄立克莱判别法,理解无界函数的反常积分的概念,能用定义和柯西判别法判定无界函数的反常积分的敛散性,了解阿贝尔判别法和狄立克莱判别法。

无穷限反常积分收敛性的概念,无穷限反常积分和数项级数的关系,比较判别法,无界函数的反常积分的概念,柯西判别法判定无界函数的反常积分的敛散性。

无穷限反常积分和数项级数的关系,比较判别法,柯西判别法判定无界函数的反常积分的敛散性。

11

函数项级数

理解函数项级数收敛的定义,掌握一致收敛的定义,熟练地掌握函数项级数一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法,了解狄尼判别法,了解阿贝尔判别法和狄立克莱判别法,掌握函数项级数和函数的分析性质(连续性、可导性、可积性) ;掌握幂级数的性质,熟练地求出幂级数的收敛半径、收敛区域和函数,以及一些简单函数的幂级数展开式。

函数项级数收敛的定义,一致收敛的定义,一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法,函数项级数和函数的分析性质(连续性、可导性、可积性) ,幂级数的性质和收敛半径、收敛区域及和函数,以及一些简单函数的幂级数展开式。

难点:函数项级数一致收敛的定义,函数项级数一致收敛的判别法,函数项级数和函数的分析性质,幂级数的收敛半径、收敛区域,幂级数展开式。

12

傅立叶级数和傅立叶变换

介绍傅里叶级数的概念。应知道傅里叶级数的收敛性定理,要求能够把一些函数展开成傅里叶级数。

傅里叶级数的概念,傅里叶级数的收敛性定理,函数展开成傅里叶级数。

傅里叶级数的收敛性定理,函数展开成傅里叶级数。

13

多元函数的极限与连续

掌握平面点集的一些基本概念;了解平面点集的几个基本定理;掌握二元函数的极限、连续、二次极限的定义、性质及相互关系;熟练记忆有界闭区域上连续函数的性质;会求二重极限和判断二元函数的连续性。

二元函数的极限、连续和二次极限的概念及求法。

平面点集的基本定理;二元函数的极限的求法。

14

偏导数和全微分

掌握偏导数和全微分定义,熟练掌握偏导数与全微分的计算,会求高阶偏导数与高阶全微分;熟练掌握多元复合函数偏导数的链式求导法;熟练掌握由方程或方程组所确定的隐函数的求导方法。

偏导数和全微分的概念和计算;多元复合函数偏导数的链式求导法;由方程或方程组所确定的隐函数的求导方法。

多元函数可微的判断方法;由方程组所确定的隐函数的求导方法。

15

函数的极值和条件极值

掌握求空间曲线的切线与法平面以及曲面的切平面与法线的方法;会求多元函数的方向导数和梯度;了解二元函数的泰勒公式;掌握多元函数极值的概念;熟练掌握二元函数极值的一阶必要条件和二阶充分条件;了解最小二乘法;掌握应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题。

空间曲线的切线与法平面以及曲面的切平面与法线的求法;方向导数和梯度的概念和性质;利用二元函数极值的一阶必要条件和二阶充分条件求二元函数极值的方法;应用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。

空间曲线切线与法平面求法;用参数方程给出曲面切平面与法线的求法;方向导数存在性与偏导数存在及可微性关系;多元函数泰勒公式;多元函数极值二阶充分条件;应用拉格朗日乘数法判断条件极值的二阶充分条件。

16

隐函数存在定理与函数相关性

熟悉隐函数存在定理,了解函数行列式的定义及基本性质。

隐函数存在定理。

方程组情形下的隐函数存在定理。

17

含参变量的积分

正确理解含参变量正常积分的概念;熟悉含参变量积分的连续性;熟练掌握含参变量积分的求导方法;能够应用积分号下求导数的方法和交换积分顺序的方法计算积分。

含参变量正常积分所确定的函数的连续性、可微性与可积性。

应用积分号下求导数的方法和交换积分顺序的方法计算积分。

18

含参变量的反常积分

准确理解含参变量反常积分一致收敛的概念;熟练掌握判断含参变量反常积分一致收敛的M—判别法;掌握一致收敛积分的连续性、积分顺序可交换性以及积分号下求导数的性质;了解Gamma函数和Bata函数的定义及基本性质。

一致收敛的定义;一致收敛积分的M—判别法;一致收敛积分的性质。

应用积分号下求导数的方法和交换积分顺序的方法计算反常积分。

19

积分的定义和性质

掌握一般黎曼积分(定积分,二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的统一定义;熟悉一般的黎曼积分的性质。

黎曼积分的统一定义;黎曼积分的主要性质。

一般的黎曼积分的统一定义及性质。

20

重积分的计算及应用

熟练掌握二重积分、三重积分的计算方法;掌握利用变量替换法求重积分的方法;熟悉重积分在物理上的一些应用;会用柯西判别法判断反常二重积分的敛散性。

二重积分和三重积分的计算方法。

二重积分的一般变量替换方法,用球面坐标计算三重积分的方法。

21

曲线积分与曲面积分的计算

准确理解第一、第二类曲线积分以及曲面积分的定义;了解单侧曲面和双侧曲面的概念;掌握将第一和第二类曲线积分化为定积分进行计算以及化为二重积分进行计算的方法;准确掌握两类曲线积分的联系公式和两类曲面积分的联系公式。

曲线积分和曲面积分的计算方法。

曲线积分和曲面积分的计算公式的推导;两类曲线积分的联系;两类曲面积分的联系。

22

 

 

各种积分间的联系和场论初步

准确记忆格林公式、高斯公式和斯托克斯公式;能够利用格林公式将二重积分与第一类及第二类曲线积分联系起来;能够利用高斯公式将三重积分与第一类及第二类曲面积分联系起来;了解斯托克斯公式,并能将第二类曲线积分和第二类曲面积分联系起来;准确掌握曲线积分与路线无关的条件;掌握利用原函数求第二类曲线积分的方法。

应用格林公式和高斯公式进行计算或证明;曲线积分与路线无关的等价条件。

格林公式、高斯公式和斯托克斯公式的推导;斯托克斯公式的应用。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况

序号

课程内容

框架

教学内容

教学方式

学时

支撑

课程目标

1

变量与函数

变量与函数的概念,,函数的五大因素、两大要素,函数的三种表示方式,几种特殊的函数,函数的一些几何特性:函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性以及函数的有界性。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标4

复合函数的概念及复合函数的存在条件,反函数的概念,函数与反函数的关系,反函数存在定理。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

基本初等函数的定义,常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反函数函数的定义、性质及期图像,初等函数的概念及举例。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3

2

极限与连续

数列极限的概念,数列有界的概念,数列极限的几何意义,数列极限的性质:唯一性、有界性、保序性、单调性、迫敛性。数列极限的四则运算法则,无穷小量的概念,无穷小量的性质,单调有界数列必有极限定理的但要,无穷大量的概念,无穷大量与无穷小量的关系,无穷大量的一些性质和运算。

讲授为主

12

课程目标1

课程目标2

课程目标4

函数极限的概念,函数在一点的极限的定义,函数极限的邻域表示,函数有界的定义,函数极限性质:唯一性定理、局部有界定理、局部保序性定理、单调性定理、夹逼定理,函数极限的四则运算性质,函数极限与数列极限之间的联系定理(归结原理),左极限与右极限的概念,函数极限与左、右极限之间的关系,函数在无限远处的极限的定义,函数值趋于无穷大的情形,两个常用的不等式的推导和两个重要极限。

讲授为主

8

课程目标1

课程目标2

课程目标3

连续函数的概念,函数在一点左连续、右连续的概念,函数在某点连续与其左连续、右连续的关系,连续函数的性质,复合函数的连续性,反函数的连续性,幂函数的连续性,三角函数和反三角函数的连续性,指数函数和对数函数的连续性,双曲函数的连续性,初等函数的连续性。函数一致连续的定义,函数的连续性与一致连续的关系,闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最大最小值定理、零点存在定理、介值定理、一致连续性定理,函数间断点的概念及其间断点的分类,可去间断点、跳跃间断点及第二类间断点的概念和如何判别间断点的类型。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标2

课程目标3

课程目标4

等价无穷小量的概念,同阶无穷小量的概念,高级无穷小量的概念,低阶无穷小量的概念,k阶无穷小量的概念,无穷小量的主要部分的概念,高阶无穷大量、低阶无穷大量、同阶无穷大量的概念。 

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

3

关于实数的基本定理和闭区间上连续函数性质的证明

上确界、下确界的定义,确界存在定理,单调有界定理,区间套定理,数列的子列概念,数列极限与其子列极限的关系,致密性定理,有限覆盖定理、柯西收敛原理。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标1

课程目标2

课程目标3

利用实数系的六大基本定理证明闭区间上连续函数的性质:用致密性定理证明有界性定理,用有限覆盖定理证明有界性定理,最大值最小值定理的证明,零点存在定理的证明,反函数连续性定理的证明,一致连续性定理的证明

讲授为主

6

课程目标1

课程目标2

课程目标4

4

导数与微分

由瞬时速度、切线问题的引入,引进导数的概念,左导数、右导数的概念,导数与左、右导数的关系,函数可导与连续的关系,导数的几何意义的介绍及应用。

讲授为主

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3

利用定义给出几种基本初等函数的求导公式:常量函数的导数,正弦函数的导数,对数函数的导数,幂函数的导数。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标1

课程目标2

导数的四则运算法则:和、差的运算法则,数乘的运算法则,乘积的求导法则,函数商的求导法则,反函数求导法则,反函数的导数,指数函数的导数,对数函数的导数

讲授为主

6

课程目标1

课程目标2

复合函数的求导法则,对数求导法。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

微分的定义、一元函数可微与可导的关系,微分的运算法则,复合函数的微分,一阶微分的形式不变性。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

隐函数求导法,参数方程所表示的函数的求导方法。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

列举两个不可导函数例子。

讲授为主

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3

函数高阶导数及运算法则,高阶微分的概念及其计算。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

5

微分学的基本定理及其应用

微分中值定理(Fermat定理,罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理),介绍利普希兹条件,拉格朗日中值定理的三个推论。

讲授为主

6

课程目标1课程目标2

课程目标3

课程目标4

利用一阶导数作近似计算,误差估计,绝对误差与相对误差的概念,泰勒公式,拉格朗日余项、佩亚诺余项,泰勒展式,并能将一些初等函数在其定义域内某点处展成具有拉格朗日余项的泰勒公式。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标2

课程目标3

函数的单调性:导数的正负与函数单调性的关系,函数严格单调的充分条件,函数的极大值、极小值的概念,极大点、极小点的概念,函数极值的必要条件,极值的判别法之一、极值的判别法之二,函数的最大值、最小值的求法,利用导数讨论函数的单调性与极值,函数的凹凸性,拐点的椎,利用导数求函数的凹凸䓒及其拐点,函数的水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线的求法,利用导数作为工具作函数的图像。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标2

课程目标3

课程目标4

平面曲线的曲率概念,弧长的微分,曲率的计算。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标4

待定型;洛必达法则。方程的近似解,方程根的第一近似值,方程根的第二近似值

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标2

课程目标3

6

不定积分

原函数的概念、不定积分的概念、不定积分的基本公式以及不定积分的运算法则。

讲授为主

6

课程目标1

课程目标2

不定积分的第一换元法、不定积分的第二换元法,不定积分的分部积分法,有理函数的积分法以及一些可化为有理函数的积分法,几种特殊类型的积分举例。

讲授为主

课堂讨论

14

课程目标2

课程目标3

课程目标4

7

定积分

由曲边梯形的面积的计算等实际问题引入定积分的定义,积分上限、积分下限,黎曼和,黎曼积分,黎曼可积,定积分存在的必要条件,定积分的几何意义。

讲授为主

2

课程目标1

课程目标2

定积分存在的充要条件,达布上和、达布下和,达布定理,定积分存在的第一充要条件,定积分存在的第二充要条件,函数在区间上幅度概念,可积函数类,介绍函数可积的三个充分条件,黎曼函数的可性性

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标2

课程目标3

课程目标4

定积分的性质:定积分的线性性,定积分对于积分区间的可加性,定积分的单调性,积分第一中值定理,积分均值。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标2

课程目标3

课程目标4

原函数存在定理,牛顿-布尼兹公式,定积分的换元积分法,定积分的分部积分法,利用定积分计算一些特殊数列的极限,椭圆积分的介绍:第一类椭圆积分,第二类椭圆积分,第三类椭圆积分。

讲授为主

课堂讨论

8

课程目标1

课程目标2

课程目标3

课程目标4

8

定积分的应用

微元法,平面图形的面积。利用直角坐标计算平面图形的面积,利用极坐标计算平面图形的面积。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

曲线弧长的概念,曲线弧长计算公式,光滑曲线及逐段光滑曲线的概念。  

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

已知截面面积求几何体体积,绕x轴旋转的旋转体的体积,绕y轴旋转的旋转体的体积,绕某直线的旋转体的体积。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3课程目标4

旋转曲面面积的计算。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3课程目标4

曲线的质心,均匀平面物体的形心及其计算公式,函数的平均值,变力沿直线所作功的计算,定积分的近似计算。

讲授为主

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3课程目标4

9

数项级数

上极限和下极限的概念,上极限和下极限的性质及求法,函数极限与函数的上极限和下极限之间的关系。

讲授为主

2

课程目标1

课程目标2

课程目标3

级数的基本概念,级数的收敛与发散,级数的部分和与余和,级数收敛的线性性质,级数收敛的必要条件,级数收敛的柯西收敛原理,利用级数收敛的柯西收敛原理判别级数的收敛性。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

正项级数,正项级数收敛的基本定理,正项级数发散的充要条件,正项级数收敛的比较判别法、比较判别法的极限形式,柯西判别法及其极限形式达朗贝尔判别法及其极限形式、柯西积分判别法。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标4

绝对收敛和条件收敛的定义,级数绝对收敛与级数收敛的关系,交错级数的概念,级数收敛的莱布尼兹判别法,阿贝尔判别法和狄立克莱判别法,阿贝尔判别法和狄立克莱判别法之间的关系。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

绝对收敛级数的性质,级数的更序级数的概念,级数相乘的柯西乘积,条件收敛级数的性质,条件收敛的黎曼定理。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

10

广义积分

无穷限广义积分的概念无穷限广义积分收敛、发散的定义,无穷限广义积分与数项级数的关系,无穷限广义积分的柯西收敛原理,无穷限广义积分收敛性判别法:比较判别法,比较判别法的极限形式,柯西判别法,柯西判别法的极限形式,第二积分中值定理,无穷限广义积分收敛性的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法。

讲授为主

6

课程目标1

课程目标2

课程目标3

无界函数的广义积分的概念,无界函数的广义积分的收敛与发散的定义,无界函数的广义积分的柯西收敛原理,无界函数的广义积分判别法柯西判别法,柯西判别法的极限形式,无界函数广义积分收敛性的阿贝尔判别法及狄利克雷判别法,广义积分的柯西主值。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2课程目标3

11

函数项级数

函数列、函数项级数的概念;函数列和函数项级数一致收敛的定义,函数列一致收敛级数的连续性、可微性与可积性;函数项级数一致收敛级数的连续性、逐项积分与逐项求导,函数项级数一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法,函数项级数一致收敛的阿贝尔判别法,函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法。

讲授为主

课堂讨论

10

课程目标1

课程目标2

课程目标3

收敛半径;柯西-阿达玛定理,阿贝尔第一定理,阿贝尔第二定理,幂级数的性质;泰勒级数的积分型余项、柯西型余项,函数的幂级数展开。

讲授为主

课堂讨论

8

课程目标1

课程目标2

课程目标3

12

傅立叶级数和傅立叶变换

傅立叶级数的引进,傅立叶系数,三角函数的正交性。

讲授为主课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

傅立叶级数的收敛性定理,函数的傅立叶级数展开,奇函数的傅立叶级数,偶函数的傅立。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

13

多元函数的极限与连续

平面点集。平面点集上邻域、内点、聚点、边界点、开集、闭集、区域等概念,平面点集的几个基本定理:矩形套定理、致密性定理、有限覆盖定理、收敛原理。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标1

课程目标2

课程目标3

多元函数的概念、二元函数的二重极限,二元函数的二次极限,二元函数的二重极限二元函数的二次极限关系。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标1

课程目标2

课程目标3

二元函数的连续性的定义,有界闭区域上连续函数的性质:有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、零点存在定理。

讲授为主

6

课程目标1

课程目标2

课程目标3

14

偏导数和全微分

偏导数和全微分的概念。全微分与偏导数的关系,可微与连续的关系,高阶偏导数与高阶全微分。

讲授为主

课堂讨论

8

课程目标1

课程目标2

课程目标3

复合函数偏导数的链式法则。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

由一个方程所确定的函数的求导法,由方程组所确定的隐函数组的偏导数的求导法。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标4

空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线,空间两条曲线的夹角,空间曲线的切线的方向余弦,曲面的法线的方向余弦。

讲授为主

6

课程目标1

课程目标2

课程目标3

方向导数和梯度、函数的方向导数与偏导数的关系,二元函数的泰勒公式,二元函数的中值公式。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标4

15

极值和条件极值

二元函数极值的概念,二元函数极值存在的 必要条件,二元函数极值存在的充分条件,最小二乘法。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标4

条件极值,拉格朗日乘数法。

讲授为主

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

16

隐函数存在定理、函数相关

隐函数存在定理,一个方程的情形,方程组的情形,多变量的情形,函数行列式的性质。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标2课程目标3

课程目标4

17

含参变量的积分

含参变量的积分的定义,含参变量的积分的连续性,含参变量的积分的可微性,含参变量的积分的可积性。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标1

课程目标2

课程目标3

18

含参变量的反常积分

含参变量的反常积分一致收敛的概念;含参变量的反常积分一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法;一致收敛积分的连续性、积分顺序可交换性以及积分号下求导数的性质;欧拉积分, Gamma函数和Bata函数的定义及基本性质,递推公式,Gamma函数和Bata函数关系。

讲授为主

课堂讨论

8

课程目标1

课程目标2课程目标3

课程目标4

19

积分(二重、三重积分,第一类曲线、曲面积分)的定义和性质

二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念,黎曼可积的必要条件,黎曼积分的充分条件。

讲授为主

2

课程目标1

课程目标2

黎曼积分积分的性质:线性性质,积分对于积分区域的可加性,积分的单调性、第一中值定理。

讲授为主

2

课程目标2

课程目标3

20

重积分的计算及应用

二重积分的几何意义:曲顶柱体的体积,二重积分的计算:化二重积分为二次积分,用极坐标计算二重积分,二重积分的一般变换。

讲授为主

课堂讨论

6

课程目标3

课程目标4

三重积分的计算,化三重积分为三次积分,用柱面坐标计算三重积分,用球面坐标计算三重积分,三重积分的一般变换。

讲授为主

6

课程目标2

课程目标3课程目标4

积分在物理上的应用:质心,零阶矩,静矩,转动惯量。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标3

课程目标4

反常重积分,无界区域上的积分和无界函数的积分,反常积分的性质和收敛判别法,可积与绝对可积的关系。

讲授为主

课堂讨论

2

课程目标1

课程目标3

课程目标4

21

曲线积分与曲面积分的计算

第一类曲线积分的计算。

讲授为主

2

课程目标2

课程目标3

第一类曲面积分的计算。

讲授为主

4

课程目标2

课程目标3

第二类曲线积分的计算,第一类曲线积分与第二类曲线积分的区别与联系。

讲授为主

课堂讨论

4

课程目标2

课程目标3

曲面的侧,第二类曲面积分的定义,第二类曲面积分的计算,第一类曲面积分与第二类曲面积分的区别与联系。

讲授为主

4

课程目标2

课程目标3

22

各种积分间的联系和场论初步

各种积分间的联系:格林公式,高斯公式,斯托克斯公式。

讲授为主

课堂讨论

5

课程目标2

课程目标3

曲线积分和路线的无关性。

讲授为主

课堂讨论

3

课程目标2

课程目标3

六、课程目标与考核内容

课程目标

考核内容

课程目标-1 掌握数学分析的基本概念,了解数学分析的发展历史,掌握科学的思想和方法。

函数的概念,基本初等函数的概念,函数的几何特性:函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性,数列极限的概念,一元函数极限,左极限与右极限的定义,一元函数的连续性,上确界、下确界的定义,数列与子列的关系,一元函数的导数及其微分的定义及计算,不定积分与定积分的概念,二元函数的二重极限与二次极限的概念及之间的关系,多元函数的偏导数与全微分的概念及区别与联系,无穷限广义积分,无界函数广义积分的概念和性质,含参变量积分,含参变量的广义积分的概念和性质,欧拉积分,Gamma函数和Bata函数的基本性质,二重积分,三重积分,第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的概念和性质,数项级数,函数项级数的概念和性质,函数列与函数列级数的一致收敛的概念和性质,含参变量广义积分的一致收敛性的概念和性质

课程目标-2掌握数学分析的基本方法,具备严谨的数学语言表达能力、逻辑思维能力与数学运算能力,养成认真、求实、勤奋良好的教学科研精神与学风。

函数的几何特性,数列收敛的分析定义,数列极限的证明,一元函数极限的分析定义,函数极限及函数左极限与右极限的相关性质的证明,一元函数的连续性,一元函数的导数及其微分的求法和相关性质,不定积分与定积分性质及其证明,二元函数的二重极限,二次极限及相互关系,多元函数的偏导数的链式法则,全微分的计算,二重积分,三重积分,第一类曲线积分,第一类曲面积分,第二类曲线积分,第二类曲面积分,数项级数,函数项级数,无穷限广义积分,无界函数广义积分,含参变量积分,含参变量的广义积分,函数列与函数列级数的一致收敛的概念,含参变量广义积分的一致收敛性的判别及证明。欧拉积分,Gamma函数和Bata函数的基本性质

课程目标-3掌握数学分析的基本理论,培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及运算能力,养成反思和独立思考的习惯,为后继课程学习打下坚实的基础。

数列极限的分析证明,一元函数极限的分析定义及用分析定义证明函数极限存在,函数极限及函数左极限与右极限的相关性质的证明,一元函数的连续性的相关性质的证明,一元函数的导数及其微分的性质及证明,确界存在定理、单调有界定理,区间套定理、致密性定理、有限覆盖定理、柯西收敛原理等实数系六大定理的之间相互关系及其证明。不定积分与定积分相关性质及计算,二元函数的二重极限的计算,二次极限的计算及其之间的联系,多元函数的偏导数与全微分的性质及计算,欧拉积分,Gamma函数和Bata函数的基本性质。二重积分,三重积分的计算,利用柱面坐标、球面坐标变换求三重积分,第一类曲线积分,第一类曲面积分的计算,第二类曲线积分,第二类曲面积分的计算,第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系,第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系,数项级数,函数项级数的相关性质及其判定收敛性,无穷限广义积分,无界函数广义积分收敛性的判别,含参变量积分,含参变量的广义积分的性质。

课程目标-4 培养建立数学模型的能力以及综合运用数学分析知识去分析和解决问题的能力,体会和领悟数学的简洁性与深刻性,提高数学思维能力和科学素养,具备一定的科学研究能力。培养反思及自主学习能力。

函数极限及函数左极限与右极限的相关性质,一元函数的连续性的相关性质的证明,一元函数的导数及其微分的性质,确界存在定理,单调有界定理,区间套定理,数列的子列概念,数列极限与其子列极限的关系,致密性定理,有限覆盖定理、柯西收敛原理等实数系六大定理的之间相互关系的证明。利用函数求函数的单调区别与极值,凹凸区别与拐点,不定积分与定积分,二元函数的二重极限与二次极限,多元函数的偏导数与全微分,求二元函数的极值与条件极值,利用拉格朗日乘数法求实际问题的最大值或最小值,欧拉积分,Gamma函数和Bata函数的基本性质,利用定积分、二重积分、三重积分求空间物体的体积,以及求几何体的质心,利用定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分,第一类曲面积分求几何体的质量,利用第二类曲线积分计算变力所作的功,利用第二类曲面积分计算流体的流量,利用数项级数,函数项级数作近似计算和误差估计,无穷限广义积分,无界函数广义积分,含参变量积分,含参变量的广义积分的性质。

七、考核方式与评价细则

考核方式

比例

考核/评价细则

课堂

表现

10%

评价标准:全勤计100

1)每旷课一次扣10分;

2)每迟到或者早退一次扣5分;

3)上课时玩手机一次扣5分;

4)事假一次扣5分;

平时

作业

20%

评价标准:将一个教学班分成三至四个小组,每次批改一个小组的作业,根据学生作业完成程度给出A+AA-B+B C等等级,然后折合为分数:

A+100A90A-80B+70B 65C60,作业未交:0

最后以平均数作为平时作业的最终分数。

平时

测验

20%

严格按照平时测验试题参考答案及评分细则进行阅卷。

期末

考试

50%

严格按照期末试题参考答案及评分细则进行阅卷。

综合

成绩

100%

课堂表现(10%+平时作业(20%+平时测验(20%+期末考试(50%

八、课程目标达成度评价

1、课程目标达成度评价机制

1)评价机构

课程目标达成度评价在数学科学学院教学指导委员会的指导下进行,由课程负责人负责实施,承担该门课程的所有任课教师共同参与评价。

2)数据来源

课程目标达成度评价采用的数据源自课程考核的成绩,课程考核成绩包含出勤成绩、课堂表现成绩、平时作业成绩、期中测试成绩(期中论文成绩或报告成绩)和期末试卷考核成绩等。

3)评价周期

本专业课程目标达成度评价周期一般为1年。

2、课程目标达成评价方法

每门课程应有3-5个课程目标,每个课程目标对8个毕业要求分解指标点的支撑情况是不相同的,按照各个课程目标对8个毕业要求分解指标点的支撑力度,对每个课程目标赋予权重值。根据一门课程的所有课程目标都应该对该课程的整体目标达成有所贡献的原则,该课程的整体目标达成度由该课程的所有课程目标达成度的加权平均值确定。

1)各个课程目标权重值的确定

每门课程一般有3-5个课程目标,每个课程目标对8个毕业要求的支撑力度有高(H)、中(M)、低(L)之分,为了便于操作,赋值H=3, M=2, L=1。假设某门课程有个课程目标,第个课程目标对8个毕业要求分解指标点的支撑力度有HML,那么,第个课程目标的分值,第个课程目标的权重值确定为

所有课程目标的权重值之和

2)各个课程目标达成度的计算

各个课程目标达成度评价采用“考核成绩分析法”,随机抽取1-2个教学班级为样本,课程考核材料包括考试、测验、作业、考勤、实验(实习、设计)报告、读书报告等。每个课程目标都有支撑该课程目标的教学内容,假设某门课程有个课程目标,支撑第个课程目标的教学内容试卷考核总分为,抽取的样本学生该部分的试卷考核平均分数为是该课程支撑第个课程目标的形成性考核的平均得分(形成性考核一般包括课堂表现、平时作业和平时测验等),支撑第个课程目标的形成性考核总分为是期末试卷考核占总考核的比例,那么,第个课程目标的达成度计算公式为

若某个,即期末考核试卷中无支撑该课程目标的内容,则

3)课程的整体目标达成度的确定

一门课程的整体目标达成度由该课程的所有课程目标达成度的加权平均值确定。假设某门课程有个课程目标,第个课程目标的权重值为,第个课程目标的达成度为,那么,该门课程的整体目标达成度为

.

4)课程的整体目标达成度评价标准

参照重庆师范大学学分制管理办法及学士学位授予条例,平均学分绩点≥2.0者才可获得理学学士学位。由于学分绩点2.0对应课程考核成绩为70分,因此,本专业课程的整体目标达成度评价标准设定为“达到0.70为评价合格”。

九、本课程各个课程目标的权重

依据第八部分中的课程目标达成度评价方法,计算得到本课程的各个课程目标的权重如下:

课程目标

课程目标-1

课程目标-2

课程目标-3

课程目标-4

权值

0.300

0.300

0.300

0.100

十、持续改进

根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验情况及教学督导的反馈,检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况,及时对教学中的不足之处进行改进,调整教学指导策略;根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验及期末考试成绩,检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况,参考优秀专业经验,在本学院教学指导委员会指导下,重新修订本课程大纲,实现持续改进。

十一、推荐教材及参考书目

1.推荐教材

欧阳光中,朱学炎,金福临,陈传璋. 数学分析(第四版). 北京:高等教育出版

社,2018.

华东师范大学数学系. 数学分析(第四版). 北京:高等教育出版社,2010.

2.参考书目

吉米多维奇.数学分析习题集. 北京:高等教育出版社.

刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义. 北京:高等教育出版社,1992.

徐利治,王兴华. 数学分析的方法及例题选讲. 北京:高等教育出版社,1983.

林本旺. 数学分析中的典型例题和解题方法,湖南:湖南科学技术出版社,1981.

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